20 pelajaran dalam Bab 1: Nombor Nisbah
Tanpa tanda = positif. Tanda “–” = negatif.
Dalam kehidupan harian kita sering bertemu dua perubahan yang bertentangan — ke kanan atau ke kiri, menaik atau menurun, untung atau rugi. Situasi ini diwakili dengan nombor positif dan nombor negatif.
Lif naik dua tingkat ditulis +2 atau 2; lif turun satu tingkat ditulis –1. Suhu gurun 45 °C ditulis +45 atau 45; suhu glasier 10 °C di bawah 0 °C ditulis –10.
Nombor yang ditulis dengan tanda “+” atau tanpa sebarang tanda ialah nombor positif. Nombor yang ditulis dengan tanda “–” ialah nombor negatif. `–1` disebut *negatif satu*.
Integer = …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … (nombor bulat sahaja)
Integer ialah kumpulan nombor yang merupakan nombor bulat positif dan nombor bulat negatif, termasuk sifar.
Contoh integer: 15, 23, –76, 0, 6, 301, –239.
Bukan integer: –3.4, ½, 0.88, –⅘ — kerana nombor ini bukan nombor bulat.
Sifar ialah integer, tetapi sifar bukan positif dan bukan negatif.
Ke kanan = lebih besar. Ke kiri = lebih kecil.
Pada garis nombor, integer positif berada di sebelah kanan sifar dan integer negatif di sebelah kiri sifar.
`–1` bermaksud *kurang 1 daripada 0*; `1` bermaksud *lebih 1 daripada 0*. Semakin ke kanan, semakin besar nilainya; semakin ke kiri, semakin kecil nilainya.
Maka nombor di sebelah arah positif sentiasa lebih besar daripada nombor di sebelah arah negatif — dan nilai nombor positif sentiasa lebih besar daripada nilai nombor negatif.
Tertib menaik = baca garis nombor dari kiri ke kanan.
Berdasarkan kedudukan integer pada garis nombor, kita boleh membanding nilainya dan menyusunnya mengikut tertib menaik (kecil → besar) atau tertib menurun (besar → kecil).
Kaedah paling selamat: lukis garis nombor dahulu, tandakan semua nombor, kemudian baca dari kiri ke kanan untuk tertib menaik.
Dua tanda bersebelahan: sama → “+”, berlainan → “–”.
Pada garis nombor: menambah integer positif = bergerak ke kanan; menambah integer negatif = bergerak ke kiri. Menolak integer positif = bergerak ke kiri; menolak integer negatif = bergerak ke kanan.
Daripada sini datangnya peraturan tanda.
Satu “+” dan satu “–” = sifar, buang berpasangan.
Selain garis nombor, cip berwarna boleh digunakan. Cip kuning “+” mewakili integer positif dan cip merah “–” mewakili integer negatif.
Satu cip kuning dan satu cip merah mewakili sifar dan boleh dibuang berpasangan.
Bagi `5 + (–2)`: lima cip kuning dan dua cip merah — dua pasangan dibuang, tinggal tiga cip kuning. Maka `5 + (–2) = 3`.
Tanda sama → +. Tanda berlainan → –.
Peraturan tanda bagi pendaraban dan pembahagian: hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan tanda sama ialah integer positif; dengan tanda berlainan ialah integer negatif.
Kaedah kerja: darab atau bahagi nilai nombornya dahulu, kemudian letakkan tandanya.
( ) → × ÷ → + –
Apabila satu pengiraan mengandungi lebih daripada satu operasi, ikut tertib operasi ini:
① tanda kurung ( )
② × atau ÷, dari kiri ke kanan
③ + atau –, dari kiri ke kanan
Tanda kurung juga digunakan sebagai tatatanda pendaraban: `2(–3)` bermaksud `2 × (–3)`.
Bagi pecahan, pengangka dan penyebut dikira dahulu, kemudian barulah dibahagi.
Tukar Tertib · Sekutuan · Agihan · Identiti
Empat hukum yang dipatuhi oleh operasi aritmetik:
Hukum Kalis Tukar Tertib — tertib boleh ditukar.
Hukum Kalis Sekutuan — kumpulan boleh ditukar.
Hukum Kalis Agihan — pendaraban diagihkan kepada setiap sebutan.
Hukum Identiti — kesan menambah 0 dan mendarab 1.
Perhatikan: penolakan dan pembahagian tidak mematuhi hukum kalis tukar tertib.
Cari pasangan yang memberi 10, 100 atau 1 000.
Hukum tadi bukan hafalan semata-mata — ia menjadikan pengiraan lebih cepat.
`29 + 38 + 2` → kumpulkan `38 + 2 = 40` dahulu (Kalis Sekutuan), jadi `29 + 40 = 69`.
`2 × 24 × 5` → susun semula kepada `24 × (2 × 5) = 24 × 10 = 240`.
`7 × 3 040` → pecahkan kepada `7 × 3 000 + 7 × 40 = 21 000 + 280 = 21 280` (Kalis Agihan).
Tetapkan arah positif dahulu, kemudian tulis setiap peristiwa sebagai + atau –.
Langkah penyelesaian masalah: Memahami masalah → Merancang strategi → Melaksanakan strategi → Membuat refleksi.
Kunci bagi masalah integer ialah menetapkan arah positif dahulu.
Contoh: tunggakan kad kredit ialah hutang, maka ditulis `–230`; tiga buku berharga RM120 ialah `3 × (–120) = –360`; faedah `–3`; bayaran balik `+400`.
Nilai negatif bermakna Luqman masih berhutang RM193.
Pecahan positif di kanan 0, pecahan negatif di kiri 0.
Perwakilan pecahan pada garis nombor sama seperti integer.
Pecahan positif ialah pecahan yang lebih besar daripada sifar dan berada di sebelah kanan sifar; pecahan negatif kurang daripada sifar dan berada di sebelah kiri sifar.
`½` bermaksud lebih ½ daripada 0; `–½` bermaksud kurang ½ daripada 0; `1½` berada antara 1 dan 2.
Samakan penyebut → banding pengangka.
Dua atau lebih pecahan boleh dibanding nilainya dengan menyamakan penyebut dahulu.
Cari GSTK bagi semua penyebut, tukar setiap pecahan, kemudian banding pengangka sahaja. Selepas itu susun mengikut tertib menaik atau menurun.
Bagi nombor bercampur negatif seperti `–1⅝` dan `–1¼`, tukar kepada penyebut sama: `–1⅝` dan `–1²⁄₈` — maka `–1⅝` lebih kecil.
Bahagi = darab dengan salingan.
Ikut tertib operasi yang sama: ( ) → × ÷ → + –. Tiga teknik yang mesti dikuasai:
① Tukarkan nombor bercampur kepada pecahan tak wajar dahulu.
② Untuk bahagi, tukarkan `÷` kepada `×` dan gunakan salingan.
③ Untuk tambah dan tolak, samakan penyebut.
Permudahkan dengan memotong faktor sepunya sebelum mendarab.
Bahagikan setiap unit kepada 10 bahagian untuk persepuluh.
Perwakilan perpuluhan pada garis nombor sama seperti integer dan pecahan.
Perpuluhan positif lebih besar daripada sifar, perpuluhan negatif kurang daripada sifar. `–0.5` bermaksud kurang 0.5 daripada 0; `0.3` bermaksud lebih 0.3 daripada 0.
Untuk menandakan `–1.3`, bahagikan ruang antara `–1.0` dan `–2.0` kepada sepuluh bahagian sama.
Samakan bilangan tempat perpuluhan, kemudian banding dari kiri.
Banding perpuluhan digit demi digit dari kiri: bandingkan bahagian nombor bulat dahulu, kemudian persepuluh, perseratus dan seterusnya.
Tambah sifar di hujung supaya bilangan tempat perpuluhan sama (`–1.23` dan `–1.230`) — ini menjadikan perbandingan lebih mudah.
Bagi perpuluhan negatif, yang lebih jauh daripada sifar adalah lebih kecil.
Kurungan dan pendaraban dahulu, barulah tambah atau tolak.
Tertib operasi yang sama: ( ) → × ÷ → + –.
`3.5 – (–6.5) × 0.2`: pendaraban dahulu, `(–6.5) × 0.2 = –1.3`, maka `3.5 – (–1.3) = 3.5 + 1.3 = 4.8`.
`(7.23 + 2.77) ÷ (–0.8)`: kurungan dahulu, `= 10.0 ÷ (–0.8) = –12.5`.
Semak bilangan tempat perpuluhan pada setiap langkah — inilah tempat kesilapan paling kerap berlaku.
Nombor nisbah = boleh ditulis sebagai p/q, dengan q ≠ 0.
Nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan `p/q`, dengan keadaan p dan q ialah integer dan q ≠ 0, disebut nombor nisbah.
Ini bermakna hampir semua nombor yang telah dipelajari ialah nombor nisbah: `1⅘ = 9/5`, `¾`, `–9 = –9/1`, `3.5 = 7/2`.
Syarat `q ≠ 0` wajib kerana pembahagian dengan sifar tidak tertakrif. Nombor seperti `3.141592654…` yang tidak berulang dan tidak berakhir bukan nombor nisbah.
Perpuluhan → pecahan dahulu, kemudian ( ) → × ÷ → + –.
Apabila satu pengiraan mengandungi pecahan dan perpuluhan bercampur, tukarkan perpuluhan kepada pecahan dahulu — barulah operasi boleh dilakukan dengan tepat tanpa pembundaran.
`–0.4 → –4/10`, `1.5 → 3/2`, `0.3 → 3/10`. Kemudian ikut tertib operasi seperti biasa.
Integer + Pecahan + Perpuluhan = Nombor Nisbah
NOMBOR NISBAH merangkumi:
Integer — integer positif `1, 2, 3, …`, sifar, integer negatif `…, –3, –2, –1`.
Pecahan — positif seperti `½, 7/4, 1⅕`; negatif seperti `–⅓, –9/2, –4½`.
Perpuluhan — positif seperti `0.5, 4.3, 3.24`; negatif seperti `–0.1, –5.5, –7.65`.
Semuanya boleh ditulis dalam bentuk `p/q`.
Tiga perkara yang mesti anda kuasai daripada bab ini: peraturan tanda, tertib operasi, dan garis nombor.