12 pelajaran dalam Bab 2: Faktor dan Gandaan
Faktor = boleh bahagi tepat, tiada baki.
Faktor bagi suatu nombor ialah nombor bulat yang boleh membahagi nombor itu dengan tepat — iaitu tanpa baki.
Contohnya 12 boleh dibahagi tepat dengan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12, maka nombor-nombor itu ialah faktor bagi 12.
Untuk menguji sama ada satu nombor ialah faktor, cuma bahagikan: `36 ÷ 12 = 3` tiada baki, maka 12 ialah faktor bagi 36. Tetapi 30 tidak boleh dibahagi tepat dengan 9, maka 9 bukan faktor bagi 30.
1 ialah faktor bagi semua nombor, dan setiap nombor ialah faktor bagi dirinya sendiri.
Cari pasangan darab dari 1 ke atas, sehingga bertemu di tengah.
Cara paling selamat menyenaraikan semua faktor ialah mencari pasangan darab, bermula dari 1:
`18 = 1 × 18` · `18 = 2 × 9` · `18 = 3 × 6`
Setiap pasangan memberi dua faktor sekali gus. Berhenti apabila dua nombor dalam pasangan itu bertemu.
Maka faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Kaedah berpasangan ini menjamin tiada faktor yang tertinggal — masalah biasa apabila murid menyenaraikan secara rambang.
Perdana = tepat dua faktor. 1 bukan perdana; 2 satu-satunya perdana genap.
Nombor perdana ialah nombor yang mempunyai tepat dua faktor sahaja: 1 dan dirinya sendiri — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Perhatikan: 2 ialah satu-satunya nombor perdana yang genap, dan 1 bukan nombor perdana kerana ia hanya ada satu faktor.
Faktor perdana ialah faktor yang juga nombor perdana. Faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18; antaranya 2 dan 3 ialah nombor perdana, maka 2 dan 3 ialah faktor perdana bagi 18.
Setiap nombor ada satu pemfaktoran perdana sahaja.
Pemfaktoran perdana bermaksud menulis suatu nombor sebagai hasil darab faktor perdananya sahaja: `18 = 2 × 3 × 3`, `60 = 2 × 2 × 3 × 5`.
Setiap nombor bulat mempunyai satu sahaja pemfaktoran perdana — inilah "cap jari" nombor itu, dan hampir semua kerja dalam bab ini bergantung padanya.
Dua kaedah diberikan dalam buku: pembahagian berulang (tangga) dan pokok faktor. Kedua-duanya memberi jawapan yang sama.
Bahagi dengan perdana terkecil dahulu, sehingga dapat 1.
Bahagikan dengan nombor perdana terkecil yang boleh, tulis hasil bahagi di bawah, dan ulang sehingga hasil bahaginya menjadi 1.
Bagi 60: bahagi 2 → 30, bahagi 2 → 15, bahagi 3 → 5, bahagi 5 → 1.
Semua pembahagi di sebelah kiri ialah faktor perdananya: `60 = 2 × 2 × 3 × 5`.
Sentiasa mula dengan 2, kemudian 3, 5, 7, … — jangan melompat, kerana melompat itulah punca faktor tertinggal.
Faktor sepunya = muncul dalam SEMUA senarai faktor.
Faktor sepunya ialah faktor yang dimiliki oleh dua atau lebih nombor pada masa yang sama.
Faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18 dan faktor bagi 24 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — nombor 1, 2, 3 dan 6 muncul dalam kedua-dua senarai, maka itulah faktor sepunya bagi 18 dan 24.
Ia bermakna 18 dan 24 kedua-duanya boleh dibahagi tepat dengan 1, 2, 3 dan 6.
1 ialah faktor sepunya bagi semua nombor, jadi senarai faktor sepunya tidak pernah kosong.
FSTB = darab faktor perdana yang ada pada SEMUA nombor.
FSTB ialah yang terbesar antara faktor sepunya. Faktor sepunya bagi 20, 44, 56 dan 64 ialah 1, 2 dan 4 — maka FSTB = 4.
Tiga kaedah untuk mencarinya:
① menyenarai faktor sepunya — baik untuk nombor kecil
② pembahagian berulang — bahagikan semua nombor serentak dengan faktor sepunya, kemudian darab semua pembahagi
③ pemfaktoran perdana — darab faktor perdana yang sepunya sahaja
Pilih kaedah mengikut saiz nombor: senarai untuk di bawah 50, pemfaktoran perdana untuk nombor besar.
“Sama rata” + “paling banyak” → FSTB.
Kata kunci yang memberitahu anda ini masalah FSTB: *"dibahagikan sama rata"*, *"bilangan paling banyak"*, *"saiz terbesar"*, *"tiada yang tinggal"*.
Contoh: 252 baju, 180 seluar dan 108 stoking dibahagi sama rata dalam bungkusan — berapa bungkusan paling banyak?
Cari FSTB: `252 = 2×2×3×3×7`, `180 = 2×2×3×3×5`, `108 = 2×2×3×3×3` → FSTB `= 2×2×3×3 = 36`.
Jadi 36 bungkusan, setiap satu mengandungi 7 baju, 5 seluar dan 3 stoking.
Faktor senarainya terhad; gandaan senarainya tak terhingga.
Gandaan bagi suatu nombor ialah hasil darab nombor itu dengan 1, 2, 3, … Gandaan bagi 9 ialah 9, 18, 27, 36, …
Senarai gandaan tidak pernah habis, berbeza dengan senarai faktor yang sentiasa terhad.
Gandaan sepunya ialah nombor yang menjadi gandaan bagi dua atau lebih nombor serentak: 24 ialah gandaan bagi 6 dan juga bagi 8, maka 24 ialah gandaan sepunya bagi 6 dan 8.
Untuk menyemak, cuma bahagikan: `72 ÷ 8 = 9`, `72 ÷ 9 = 8`, `72 ÷ 18 = 4`, `72 ÷ 24 = 3` — semuanya tepat, maka 72 ialah gandaan sepunya bagi 8, 9, 18 dan 24.
Semua gandaan sepunya ialah gandaan bagi GSTK.
Gandaan sepunya bagi 6 dan 8 ialah 24, 48, 72, 96, … — yang pertama dan terkecil ialah 24, maka GSTK = 24.
Perhatikan satu perkara penting: semua gandaan sepunya yang lain ialah gandaan bagi GSTK (48, 72, 96 semuanya gandaan bagi 24). Jadi setelah GSTK dijumpai, semua yang lain datang percuma.
Tiga kaedah yang sama: menyenarai, pembahagian berulang, dan pemfaktoran perdana.
FSTB = sepunya sahaja, kuasa terendah. GSTK = semua, kuasa tertinggi.
Ini kaedah yang paling boleh dipercayai untuk nombor besar. Susun pemfaktoran perdana setiap nombor dalam lajur, kemudian ambil setiap faktor perdana pada kuasa yang tertinggi.
Bagi 3, 8 dan 12: `3 = 3`, `8 = 2 × 2 × 2`, `12 = 2 × 2 × 3` → ambil `2 × 2 × 2` (dari 8) dan `3` → GSTK `= 2 × 2 × 2 × 3 = 24`.
Bandingkan dengan FSTB, yang mengambil faktor perdana sepunya pada kuasa terendah.
FSTB ambil yang sepunya; GSTK ambil semuanya.
“Serentak” atau “paling kurang” → GSTK. “Sama rata” atau “paling banyak” → FSTB.
Kata kunci yang memberitahu ini masalah GSTK: *"serentak sekali lagi"*, *"bilangan paling kurang"*, *"nombor terkecil yang boleh dibahagi tepat"*, *"berulang bersama"*.
Contoh: minuman kopi 6 tin sekotak, teh 9 tin sekotak, mahu bilangan tin yang sama — GSTK bagi 6 dan 9 ialah 18, jadi beli `18 ÷ 6 = 3` kotak kopi dan `18 ÷ 9 = 2` kotak teh.
Contoh kedua: lampu berkelip setiap 9 saat dan 12 saat → serentak semula selepas GSTK `= 36` saat.