18 pelajaran dalam Bab 3: Kuasa Dua & Kuasa Tiga
a² = a × a — luas segi empat sama bersisi a.
Segi empat sama bersisi 4 unit mempunyai luas `4 × 4 = 16 unit²`. Kita katakan kuasa dua bagi 4 ialah 16, dan ditulis sebagai `4²`.
Kuasa dua bagi suatu nombor bermaksud mendarab nombor itu dengan dirinya sendiri.
Perkataan Inggerisnya *square* — yang juga bermaksud segi empat sama, dan itulah puncanya: kuasa dua ialah luas segi empat sama.
`4²` disebut *“empat kuasa dua”* atau *“kuasa dua bagi empat”*.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225
Susun kepingan kertas 1 unit × 1 unit menjadi segi empat sama: hanya 1, 4, 9, 16, 25, 36, … yang berjaya.
Nombor-nombor ini dipanggil kuasa dua sempurna — iaitu nombor yang boleh ditulis sebagai hasil darab dua faktor yang sama. Contohnya `225 = 15 × 15 = 15²`, maka 225 ialah kuasa dua sempurna.
Anda perlu hafal sekurang-kurangnya sehingga `15² = 225`; ia menjimatkan masa dalam setiap soalan bab ini.
Kumpul faktor perdana kepada DUA kumpulan serupa → kuasa dua sempurna.
Untuk nombor besar, gunakan pemfaktoran perdana. Jika faktor perdana dapat dikumpulkan dalam dua kumpulan yang sama, nombor itu ialah kuasa dua sempurna.
Contoh: `36 = 2 × 3 × 2 × 3` → dua kumpulan `(2 × 3)` dan `(2 × 3)` yang serupa → 36 ialah kuasa dua sempurna.
Tetapi `54 = 2 × 3 × 3 × 3` → tidak boleh dibahagi kepada dua kumpulan yang sama → 54 bukan kuasa dua sempurna.
Sebabnya mudah: kuasa dua sempurna ialah `a × a`, jadi setiap faktor perdana mesti muncul dalam bilangan genap.
6 → kuasa dua → 36 → punca kuasa dua → 6
Segi empat sama berluas 36 unit² mempunyai panjang sisi 6 unit. Kuasa dua bagi 6 ialah 36, maka punca kuasa dua bagi 36 ialah 6, ditulis `√36 = 6`.
Kuasa dua dan punca kuasa dua ialah operasi bersongsangan — satu membatalkan yang lain, sama seperti tambah dan tolak.
Mencari punca kuasa dua bagi luas sebuah segi empat sama bermakna mencari panjang sisinya.
`√36` dibaca *“punca kuasa dua bagi tiga puluh enam”*.
Kuasa dua nombor negatif sentiasa POSITIF.
Kuasa dua ditentukan dengan mendarab nombor itu dengan dirinya sendiri — dan ini berlaku untuk semua jenis nombor nisbah:
`6² = 6 × 6 = 36` · `(¾)² = ¾ × ¾ = ⁹⁄₁₆` · `(–0.5)² = (–0.5) × (–0.5) = 0.25`
Perhatikan: kuasa dua nombor negatif sentiasa positif, kerana tanda sama didarab memberi positif.
Bagi pecahan, kuasakan pengangka dan penyebut berasingan. Dengan kalkulator, gunakan kekunci `x²`.
Faktorkan → bahagi kepada dua kumpulan serupa → ambil satu kumpulan.
Untuk nombor besar, jangan meneka — gunakan pemfaktoran perdana.
`441 = 3 × 3 × 7 × 7`. Susun kepada dua kumpulan yang sama: `(3 × 7) × (3 × 7) = 21 × 21`. Maka `√441 = 21`.
Kaedah ini sentiasa berjaya dan tidak pernah tersilap, tidak seperti cuba-cuba. Ia juga terus memberitahu anda apabila nombor itu bukan kuasa dua sempurna — kumpulan tidak akan seimbang.
Permudahkan dahulu, kemudian punca atas dan bawah berasingan.
Tiga peraturan yang menyelesaikan hampir semua soalan:
① Pecahan — puncakan pengangka dan penyebut berasingan: `√(4/25) = √4 ÷ √25 = 2/5`
② Nombor bercampur — tukar kepada pecahan tak wajar dahulu: `√(2⁷⁄₉) = √(25/9) = 5/3 = 1⅔`
③ Permudahkan dahulu jika boleh: `√(27/48) = √(9/16) = 3/4`
Bagi perpuluhan, tulis semula sebagai kuasa dua perpuluhan yang lain atau sebagai pecahan: `√0.36 = √(0.6²) = 0.6`, atau `√(36/100) = 6/10 = 0.6`.
Bukan kuasa dua sempurna → kalkulator + bundar mengikut arahan.
Bagi nombor yang bukan kuasa dua sempurna, gunakan kalkulator dan bundarkan mengikut arahan soalan:
`√89 = 9.43` (2 t.p.) · `√154.7 = 12.44` (2 t.p.) · `√(6²⁄₇) = 2.51` (2 t.p.)
Kekunci pecahan bercampur ialah `a b/c`.
Sentiasa semak berapa tempat perpuluhan diminta — markah hilang di situ, bukan pada pengiraannya.
Punca kuasa dua → apit antara dua kuasa dua sempurna.
Menganggar ialah kemahiran menyemak, dan ia soalan peperiksaan tersendiri.
Untuk kuasa dua: bundarkan nombor kepada puluh terdekat dahulu. `27.5` adalah antara 20 dengan 30, maka `27.5²` adalah antara `400` dengan `900`, dan `27.5² ≈ 900`.
Untuk punca kuasa dua: cari dua kuasa dua sempurna yang mengapit nombor itu. `54` terletak antara `49` dan `64`, maka `√54` antara `7` dan `8`; kerana 54 lebih hampir kepada 49, `√54 ≈ 7`.
√a × √a = a · √a × √b = √(ab)
Dua generalisasi penting:
① Hasil darab dua punca kuasa dua nombor yang sama memberi nombor itu sendiri — `√a × √a = a`
② Hasil darab dua punca kuasa dua nombor berbeza ialah punca kuasa dua bagi hasil darabnya — `√a × √b = √(ab)`
Peraturan kedua sangat berguna: `√8 × √2 = √16 = 4`, walaupun `√8` dan `√2` kedua-duanya bukan nombor bulat.
a³ = a × a × a — isi padu kubus bertepi a.
Kubus dengan panjang tepi 2 unit mengandungi `2 × 2 × 2 = 8` kubus unit — iaitu isi padunya 8 unit³.
Kita katakan kuasa tiga bagi 2 ialah 8, ditulis `2³ = 8`.
Kuasa tiga bermaksud mendarab nombor itu dengan dirinya tiga kali. Perkataan Inggerisnya *cube*, yang juga bermaksud kubus.
`2³` disebut *“dua kuasa tiga”*.
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000
Hanya sesetengah bilangan blok unit dapat membina kubus: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000.
Ini ialah kuasa tiga sempurna — nombor yang boleh ditulis sebagai hasil darab tiga faktor yang sama: `64 = 4 × 4 × 4`.
Hafal senarai ini sehingga `10³ = 1 000`; ia jauh lebih pendek daripada senarai kuasa dua sempurna dan menjimatkan banyak masa.
Kumpul faktor perdana kepada TIGA kumpulan serupa.
Sama seperti kuasa dua, tetapi tiga kumpulan: jika faktor perdana dapat dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama, nombor itu ialah kuasa tiga sempurna.
`64 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)` → tiga kumpulan serupa → kuasa tiga sempurna.
`240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5` → tidak boleh → bukan kuasa tiga sempurna.
Setiap faktor perdana mesti muncul dalam bilangan yang boleh dibahagi tiga.
2 → kuasa tiga → 8 → punca kuasa tiga → 2
Kubus berisi padu 8 unit³ mempunyai panjang tepi 2 unit. Kuasa tiga bagi 2 ialah 8, maka punca kuasa tiga bagi 8 ialah 2, ditulis `∛8 = 2`.
Kuasa tiga dan punca kuasa tiga juga operasi bersongsangan.
Mencari punca kuasa tiga bagi isi padu sebuah kubus bermakna mencari panjang tepinya.
`∛8` dibaca *“punca kuasa tiga bagi lapan”*.
∛(negatif) = negatif · √(negatif) tiada dalam Tingkatan 1
Inilah perbezaan paling penting antara kuasa dua dan kuasa tiga.
Kuasa tiga nombor negatif sentiasa negatif, dan punca kuasa tiga nombor negatif sentiasa negatif — kerana tiga tanda negatif didarab memberi negatif.
`(–0.5)³ = –0.125` dan `∛(–0.125) = –0.5`.
Bandingkan dengan kuasa dua: `(–5)² = 25` positif, dan `√(–25)` tidak wujud dalam Tingkatan 1.
Punca kuasa tiga boleh negatif; punca kuasa dua yang dipelajari di sini tidak.
Permudahkan → tukar → punca atas dan bawah berasingan.
Peraturan yang sama seperti punca kuasa dua, dengan tiga kumpulan:
① Pecahan — `∛(8/125) = ∛8 ÷ ∛125 = 2/5`
② Permudahkan dahulu — `∛(–81/192) = ∛(–27/64) = –3/4`
③ Nombor bercampur → pecahan tak wajar dahulu — `∛(3⅜) = ∛(27/8) = 3/2 = 1½`
④ Perpuluhan — `∛0.027 = ∛(0.3³) = 0.3`, atau `∛(27/1 000) = 3/10 = 0.3`
Kuasa & punca dahulu, kemudian ( ) → × ÷ → + –
Apabila kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga dan punca kuasa tiga bercampur dalam satu pengiraan, tertibnya ialah:
① kira setiap kuasa dan punca dahulu
② tanda kurung
③ `×` dan `÷` dari kiri ke kanan
④ `+` dan `–` dari kiri ke kanan
Contoh: `√25 + (–0.2)² ÷ ∛0.008 = 5 + 0.04 ÷ 0.2 = 5 + 0.2 = 5.2`.
Kuasa dan punca berkelakuan seperti satu nombor tunggal — kira nilainya dahulu, kemudian layan seperti biasa.
Kumpul 2 → kuasa dua · Kumpul 3 → kuasa tiga
Empat operasi, dua pasangan songsangan.
Kuasa dua `a × a` ⇄ punca kuasa dua `√(a × a)`.
Kuasa tiga `a × a × a` ⇄ punca kuasa tiga `∛(a × a × a)`.
Alat utama bab ini ialah pemfaktoran perdana: kumpul kepada dua kumpulan untuk kuasa dua, tiga kumpulan untuk kuasa tiga.
Perbezaan yang mesti diingat: kuasa dua membunuh tanda negatif, kuasa tiga mengekalkannya.