19 pelajaran dalam Bab 4: Nisbah, Kadar dan Kadaran
Samakan unit dahulu → gugurkan unit → a : b
Nisbah digunakan untuk membandingkan dua kuantiti yang sama jenis dan diukur dalam unit yang sama.
Nisbah `a` kepada `b` ditulis sebagai `a : b` dan dibaca *“a kepada b”*.
Sebelum menulis nisbah, unit mesti disamakan dahulu: `5 000 g : 9 kg = 5 kg : 9 kg = 5 : 9`.
Perhatikan satu perkara penting — nisbah tidak mempunyai unit. Unit digugurkan selepas disamakan, kerana nisbah membandingkan *berapa kali ganda*, bukan *berapa banyak*.
Setiap operasi mesti dikenakan pada SEMUA bahagian nisbah.
Nisbah boleh membandingkan tiga kuantiti sekali gus, ditulis `a : b : c`.
Prosesnya sama: samakan unit, kemudian permudahkan.
`0.02 m : 3 cm : 4.6 cm` → tukar semua kepada cm → `2 : 3 : 4.6` → darab semua dengan 10 untuk menghapuskan perpuluhan → `20 : 30 : 46` → bahagi semua dengan 2 → `10 : 15 : 23`.
Apa sahaja yang dilakukan kepada satu bahagian mesti dilakukan kepada semua bahagian.
Darab atau bahagi SEMUA bahagian dengan nombor yang sama.
Nisbah setara ialah nisbah berbeza yang mewakili hubungan yang sama: `1 : 2 = 2 : 4 = 6 : 12`.
Ia dicari dengan mendarab atau membahagi setiap bahagian dengan nombor yang sama. Ini persis seperti pecahan setara — kerana `a : b` boleh ditulis sebagai `a/b`.
Untuk menyemak sama ada `9 : 15` setara dengan `27 : 45`, bahagikan `27 : 45` dengan 3 dan anda dapat `9 : 15`.
Nisbah setara juga boleh melibatkan pecahan.
Integer → bahagi FSTB. Pecahan → darab GSTK. Perpuluhan → darab 10, 100, 1 000 dahulu.
Suatu nisbah `a : b` berada dalam bentuk termudah apabila `a` dan `b` tiada faktor sepunya kecuali 1.
Dua alat daripada Bab 2 digunakan di sini: bahagi dengan FSTB untuk memudahkan integer, dan darab dengan GSTK penyebut untuk menghapuskan pecahan.
`32 : 24 : 20` ÷ FSTB 4 → `8 : 6 : 5`
`⅗ : ⁷⁄₁₀` × GSTK 10 → `6 : 7`
Untuk perpuluhan, darab dengan 10, 100 atau 1 000 dahulu: `0.04 : 0.12 : 0.56` × 100 → `4 : 12 : 56` ÷ 4 → `1 : 3 : 14`.
Unit sama → NISBAH (tiada unit). Unit berbeza → KADAR (ada unit).
Kadar ialah kes khas nisbah yang membandingkan dua kuantiti dengan unit yang BERBEZA.
`285 km` dalam `3 jam` membandingkan jarak dengan masa — itu kadar. Kadar mengekalkan unitnya, tidak seperti nisbah.
Contoh kadar dalam kehidupan: RM10 per 2 kg, 12 km per 1 liter, 75 denyutan per minit, 2 Newton per m².
Ujian yang mudah: unit sama → nisbah; unit berbeza → kadar. `1.5 kg` kepada `3 kg` ialah nisbah; `1.5 kg` kepada `3 g` juga nisbah, kerana unit boleh disamakan; tetapi `1.5 kg` dalam `3 minit` ialah kadar.
Untuk membanding kadar, samakan unit dahulu.
Untuk membandingkan dua kadar, unitnya mesti disamakan dahulu.
Gerai A menjual RM15 per kg; gerai B menjual RM8 per 500 g. Tukar B kepada per kg: `RM8` per `500 g` didarab 2 menjadi `RM16` per `1 000 g`, iaitu RM16 per kg. Maka gerai A lebih murah.
Untuk penukaran yang lebih rumit, tukar setiap unit satu demi satu:
`5 m/s = 5 × 3 600 ÷ 1 000 = 18 km/j`
`2 700 kg/m³ = 2 700 × 1 000 ÷ 1 000 000 = 2.7 g/cm³`
Nisbah = perbandingan. Kadaran = dua perbandingan yang SAMA.
Kadaran ialah suatu hubungan yang menyatakan kesamaan antara dua nisbah atau dua kadar.
`45 perkataan` dalam `5 minit` sama dengan `540 perkataan` dalam `60 minit` — itu satu kadaran.
Bezanya daripada dua yang sebelum ini:
nisbah membandingkan dua nombor
kadar membandingkan dua nombor berunit berbeza
kadaran mengatakan dua nisbah atau kadar itu SAMA
Kadaran sentiasa mengandungi tanda `=`, dan itulah yang membolehkan kita mencari nilai yang tidak diketahui.
Turunkan kepada 1, kemudian darab naik.
Cara paling mudah difahami untuk menyelesaikan kadaran: cari nilai bagi SATU unit dahulu.
Kos elektrik 43.6 sen bagi 2 kWj.
Bagi 1 kWj: `43.6 ÷ 2 = 21.8 sen`
Bagi 30 kWj: `30 × 21.8 = 654 sen = RM6.54`
Kaedah ini lambat sedikit tetapi hampir mustahil untuk tersilap, dan ia berfungsi walaupun apabila nombor tidak sedap. Gunakan ia apabila anda tidak pasti.
a/b = c/d maka a × d = b × c
Kaedah paling laju, dan yang paling kerap digunakan dalam peperiksaan.
Jika `a/b = c/d`, maka `a × d = b × c`.
Untuk `43.6/2 = x/30`: silang darab memberi `2x = 43.6 × 30`, maka `x = 1 308 ÷ 2 = 654`.
Sebelum menyilang darab, pastikan kedua-dua pecahan disusun dengan kuantiti yang sepadan di kedudukan yang sama — kos di atas pada kedua-dua belah, kWj di bawah pada kedua-dua belah.
Samakan kuantiti yang berkongsi menggunakan GSTK, barulah gabung.
Diberi `p : q = 7 : 3` dan `q : r = 3 : 5` — kerana `q` sudah sama (3 pada kedua-duanya), terus tulis `p : q : r = 7 : 3 : 5`.
Tetapi jika `q` tidak sama, ia mesti disamakan dahulu menggunakan GSTK.
Diberi `x : y = 2 : 5` dan `y : z = 3 : 2`:
GSTK bagi 5 dan 3 ialah 15 → darab nisbah pertama dengan 3 → `6 : 15` → darab nisbah kedua dengan 5 → `15 : 10` → gabung: `x : y : z = 6 : 15 : 10`.
Cari nilai SATU bahagian, kemudian darab dengan bilangan bahagian.
Diberi nisbah dan satu nilai sebenar, cari yang lain.
Tepung kepada air `= 5 : 3`, dan tepung `= 480 g`.
Kaedah unitari: 5 bahagian = 480 g → 1 bahagian = `480 ÷ 5 = 96 g` → air = 3 bahagian = `3 × 96 = 288 g`.
Kaedah pendaraban silang: `m/3 = 480/5` → `5m = 1 440` → `m = 288`.
Perkataan “bahagian” ialah kunci: nisbah memberitahu anda berapa bahagian, nilai yang diberi memberitahu anda berapa besar satu bahagian.
Semak: jumlah bahagian × nilai satu bahagian = jumlah keseluruhan.
Prinsip yang sama, tiga bahagian.
Derma dibahagi `2 : 6 : 5` dan PIBG, yang memegang 5 bahagian, menderma RM900.
Satu bahagian = `900 ÷ 5 = RM180`. Maka kantin, 2 bahagian, menderma `2 × 180 = RM360`, dan Syarikat Buku Jaya, 6 bahagian, menderma `6 × 180 = RM1 080`.
Semak: `360 + 1 080 + 900 = RM2 340`, dan `13 bahagian × 180 = RM2 340`. Langkah semakan ini percuma dan menangkap hampir setiap kesilapan.
Tolak bahagian yang diketahui dahulu, kemudian bahagi bakinya mengikut nisbah.
Dawai sepanjang 12 cm dibahagi kepada `PQ`, `QR` dan `RS`, dengan `PQ : QR = 3 : 2` dan `RS = 2 cm`.
Langkah pertama yang paling penting: asingkan bahagian yang diketahui. `PR = 12 – 2 = 10 cm`.
Jumlah bahagian `PQ` dan `QR` ialah `3 + 2 = 5`, maka 1 bahagian = `10 ÷ 5 = 2 cm`. Dengan itu `PQ = 6 cm` dan `QR = 4 cm`.
Akhirnya `PQ : QR : RS = 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1`.
Nombor sedap → darab dengan faktor. Nombor tidak sedap → pendaraban silang.
Jantung berdenyut 420 kali dalam 4 minit, pada kadar tetap. Berapa denyutan dalam 12 minit?
Tulis kadaran: `420/4 = x/12`. Perhatikan `12 = 4 × 3`, maka `x = 420 × 3 = 1 260`.
Apabila nombornya sedap seperti ini, darab dengan faktor paling laju. Apabila tidak sedap, gunakan pendaraban silang.
Kedua-duanya betul; pilih mengikut nombor yang diberi.
bertanda dalam sampel ÷ saiz sampel = jumlah bertanda ÷ populasi
Satu aplikasi kadaran yang menarik dan kerap muncul dalam peperiksaan.
24 ekor siput ditangkap dan ditanda, kemudian dilepaskan. Dua minggu kemudian, 30 ekor ditangkap dan 5 daripadanya bertanda.
Andaian yang membolehkan ia berfungsi: kadar bertanda dalam sampel sama dengan kadar bertanda dalam populasi.
`5/30 = 24/x` → permudahkan `5/30` kepada `1/6` → `x = 6 × 24 = 144`.
Anggaran populasi: 144 ekor siput.
Untuk peratusan, guna a : (a + b), bukan a : b.
Peratusan ialah pecahan dengan penyebut 100 — iaitu nisbah yang menghuraikan bahagian daripada 100. `20% = ²⁰⁄₁₀₀`.
Ini menghubungkan seluruh bab kepada peratusan. Nisbah murid perempuan kepada lelaki `= 3 : 2`, maka perempuan kepada jumlah `= 3 : 5 = ⅗ = ⁶⁰⁄₁₀₀ = 60%`.
Langkah kritikal ialah menukar “bahagian kepada bahagian” menjadi “bahagian kepada jumlah” — `3 : 2` menjadi `3 : 5`, kerana jumlahnya `3 + 2 = 5`.
p% memberi p : 100 kepada jumlah, atau p : (100 – p) kepada baki.
Arah sebaliknya sama mudah.
Zakaria menyimpan 30% daripada wang sakunya.
Nisbah simpanan kepada jumlah = `30 : 100 = 3 : 10`.
Nisbah simpanan kepada belanja = `30 : 70 = 3 : 7`.
Baca soalan dengan teliti: *“kepada jumlah”* dan *“kepada baki”* memberi jawapan yang berbeza.
x/100 = bahagian/jumlah. Untuk diskaun, tolak daripada 100%.
Cara paling selamat mencari peratusan ialah menulisnya sebagai kadaran: `x/100 = bahagian/jumlah`.
2 daripada 8 reben berwarna biru → `x/100 = 2/8` → `8x = 200` → `x = 25%`.
RM15 daripada RM300 → `y/100 = 15/300` → `y = 5%`.
Untuk diskaun: harga jualan RM57.80 daripada harga asal RM85 → `p/100 = 57.80/85` → `p = 68`, iaitu harga jualan ialah 68% daripada harga asal, maka diskaun = 100% – 68% = 32%.
Unit sama → nisbah · Unit berbeza → kadar · Dua yang sama → kadaran
Tiga idea, satu keluarga.
NISBAH `a : b` — unit sama, tiada unit, tertib penting.
KADAR — unit berbeza, unit dikekalkan, contohnya km/j dan RM per kg.
KADARAN — dua nisbah atau kadar yang sama, diselesaikan dengan kaedah unitari atau pendaraban silang.
Kesemuanya bersambung kepada peratusan melalui `p% = p : 100`, dan kepada pecahan melalui `a : b = a/b`.
Dua kemahiran yang mesti automatik: samakan unit, dan tukar “bahagian kepada bahagian” menjadi “bahagian kepada jumlah”.