12 pelajaran dalam Bab 13: Teorem Pythagoras
Hipotenus = sisi terpanjang, bertentangan dengan sudut tegak.
Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, sisi yang terpanjang ialah sisi yang sentiasa bertentangan dengan sudut tegak. Sisi itu dipanggil hipotenus.
Dua perkara yang mesti benar sekali gus: ia sisi terpanjang, dan ia bertentangan dengan sudut 90°.
Perhatikan: jika segi tiga itu tiada sudut tegak — contohnya segi tiga dengan sudut 95° — maka ia tiada hipotenus langsung, dan teorem Pythagoras tidak boleh digunakan padanya.
Satu sisi boleh menjadi hipotenus dalam satu segi tiga dan sisi biasa dalam yang lain.
Dalam rajah yang mempunyai lebih daripada satu segi tiga bersudut tegak, setiap segi tiga mempunyai hipotenusnya sendiri.
Dalam rajah dengan segi tiga `PSR` dan `PRQ`: `PR` ialah hipotenus bagi `∆PSR`, tetapi `PQ` ialah hipotenus bagi `∆PRQ` — dan `PR` bertukar peranan, menjadi salah satu sisi bersudut tegak dalam segi tiga kedua.
Sebelum mengira apa-apa, kenal pasti segi tiga mana yang anda kerjakan dan tandakan hipotenusnya.
`c² = a² + b²`, dengan `c` ialah hipotenus.
Bina segi empat sama pada setiap sisi segi tiga bersudut tegak. Dapatan yang mengejutkan: luas segi empat sama pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas dua segi empat sama yang lain.
Kerana luas segi empat sama ialah `sisi²`, ini bermakna `c² = a² + b²`, dengan `c` ialah hipotenus.
Inilah teorem Pythagoras — hubungan antara ketiga-tiga sisi segi tiga bersudut tegak, dan salah satu hasil paling berguna dalam seluruh matematik.
Cari hipotenus → TAMBAH dua kuasa dua, kemudian punca kuasa dua.
Apabila dua sisi bersudut tegak diberi dan hipotenus dicari, gunakan terus: `x² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400`, maka `x = √400 = 20`.
Prosedurnya: ① kenal pasti hipotenus — inilah langkah pertama, sentiasa ② kuasa duakan kedua-dua sisi yang diberi ③ tambah ④ punca kuasa duakan.
Nombor akan sentiasa lebih besar daripada mana-mana sisi yang diberi — jika tidak, anda telah tersilap.
Cari sisi bersudut tegak → TOLAK. Jawapan mesti < hipotenus.
Apabila hipotenus dan satu sisi diberi, kita menolak: `26² = x² + 24²` → `x² = 676 – 576 = 100` → `x = 10`.
Ini kesilapan paling kerap dalam bab ini — murid menambah apabila mereka sepatutnya menolak.
Ujian yang menyelamatkan anda: jawapan mesti lebih KECIL daripada hipotenus. Jika jawapan anda lebih besar daripada sisi terpanjang, anda telah menambah apabila anda sepatutnya menolak.
Simpan nilai kuasa dua antara langkah; jangan puncakan lebih awal daripada perlu.
Banyak soalan memerlukan dua kali penggunaan teorem, dengan jawapan pertama menjadi input kedua.
Contoh: cari `PR` daripada `3` dan `4` → `PR² = 9 + 16 = 25`. Kemudian gunakan `PR` dengan `12` untuk mencari `PQ` → `PQ² = 25 + 144 = 169` → `PQ = 13`.
Jangan puncakan `PR` jika anda hanya perlukan `PR²` untuk langkah seterusnya — biarkan ia sebagai `25` dan jimatkan satu langkah dan satu pembundaran.
Lukis segi tiga dahulu. Yang condong ialah hipotenus.
Hampir semua masalah dunia sebenar mengikut corak yang sama: sesuatu condong (tangga, tali, laluan kapal) merentangi jarak mengufuk dan jarak menegak. Yang condong ialah hipotenus; dua yang lain ialah sisi bersudut tegak.
Langkah pertama sentiasa: lukis segi tiga bersudut tegak dan labelkan ketiga-tiga sisi.
Contoh: sebuah tangga mencapai ketinggian 12 m dengan kaki 9 m dari dinding → `PR² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225` → `PR = 15 m`.
`c² = a² + b²` ⟹ sudut bertentangan `c` ialah 90°.
Teorem itu juga berfungsi secara songsang. Akas teorem Pythagoras: jika `c² = a² + b²`, maka sudut bertentangan dengan sisi `c` ialah sudut TEGAK.
Ini bermakna anda boleh menguji sama ada suatu segi tiga bersudut tegak hanya dengan tiga panjang sisinya, tanpa mengukur sudut langsung.
Ini digunakan sebenar oleh kontraktor dan jurubina untuk menyemak sama ada dinding benar-benar tegak.
`=` tegak · `<` tirus · `>` cakah — dengan `c` sebagai sisi terpanjang.
Akas itu sebenarnya memberi tiga hasil, dan peperiksaan menguji ketiga-tiganya. Dengan `c` sebagai sisi terpanjang:
`c² = a² + b²` → sudut bertentangan `c` ialah tegak (90°)
`c² < a² + b²` → sudut itu tirus (kurang 90°)
`c² > a² + b²` → sudut itu cakah (lebih 90°)
Cara mengingat yang mudah: jika `c²` terlalu besar, sudut itu terbuka terlalu luas — cakah.
Kenal pasti sisi terpanjang dahulu. Ia sentiasa `c`.
Prosedur ujiannya tetap, dan langkah pertamanya wajib: ① kenal pasti sisi TERPANJANG — panggilnya `c` ② kira `c²` ③ kira `a² + b²` ④ bandingkan.
Contoh: `7, 24, 25` → `25² = 625` dan `24² + 7² = 576 + 49 = 625` → sama → segi tiga bersudut tegak ✓.
Tetapi `12, 18, 20` → `20² = 400` dan `18² + 12² = 324 + 144 = 468` → tidak sama → bukan segi tiga bersudut tegak ✗.
`(3,4,5)` `(5,12,13)` `(7,24,25)` `(8,15,17)` — dan semua gandaannya.
Tiga nombor `a`, `b`, `c` yang memuaskan `c² = a² + b²` disebut trirangkap Pythagoras.
Hafal yang biasa dan anda menjimatkan masa dalam setiap soalan: `(3, 4, 5)` · `(5, 12, 13)` · `(7, 24, 25)` · `(8, 15, 17)` · `(9, 40, 41)` · `(20, 21, 29)`.
Gandaan trirangkap juga trirangkap: `(6, 8, 10)`, `(9, 12, 15)`, `(15, 20, 25)` semuanya daripada `(3, 4, 5)` — jadi apabila anda melihat `15, 20, 25`, anda sudah tahu jawapannya tanpa mengira.
`c² = a² + b²` — tambah untuk hipotenus, tolak untuk yang lain.
HIPOTENUS — sisi terpanjang, bertentangan dengan sudut tegak.
TEOREM — `c² = a² + b²`. Cari hipotenus → tambah; cari sisi bersudut tegak → tolak; jawapan mesti masuk akal berbanding hipotenus.
Akas — jika `c² = a² + b²` maka sudut bertentangan `c` ialah tegak; `<` beri tirus, `>` beri cakah.
TRIRANGKAP — `(3,4,5)`, `(5,12,13)`, `(7,24,25)`, `(8,15,17)` dan gandaannya. Dalam setiap masalah dunia sebenar: lukis segi tiga bersudut tegak dahulu.