12 pelajaran dalam Bab 11: Pengenalan Set
Set = kumpulan objek dengan ciri sepunya. Ditulis dalam `{ }`.
Dalam kehidupan harian kita mengelaskan bahan kitar semula kepada kertas, plastik, kaca, aluminium. Setiap kumpulan objek yang mempunyai ciri-ciri sepunya dinamakan set.
Setiap objek di dalam set itu dipanggil unsur. Set ditulis di dalam tatatanda set `{ }`, dan setiap unsur dipisahkan dengan koma.
Idea ini semudah "mengumpulkan benda yang serupa" — dan itulah tepatnya maksudnya.
Perihalan · Penyenaraian · Tatatanda pembina set `{x : x ialah …}`
Set yang sama boleh ditulis dalam tiga cara, dan peperiksaan meminta ketiga-tiganya.
① Perihalan — ayat biasa: *"A ialah set warna dalam Jalur Gemilang."*
② Penyenaraian — senaraikan unsurnya: `A = {merah, putih, biru, kuning}`.
③ Tatatanda pembina set — `A = {x : x ialah warna dalam Jalur Gemilang}`, dibaca *"set semua x, dengan keadaan x ialah…"*.
Titik bertindih `:` bermakna "dengan keadaan".
Jangan ulang unsur. Tertib tidak penting.
Dua peraturan yang menentukan hampir setiap markah dalam 11.1.
① Unsur yang sama TIDAK diulang. Huruf dalam `'PANORAMA'` ialah `{P, A, N, O, R, M}` — hanya enam unsur, walaupun perkataan itu ada lapan huruf, kerana `A` muncul tiga kali dan dikira sekali.
② Tertib susunan TIDAK penting. `{H, A, R, U, M}`, `{M, U, R, A, H}` dan `{R, U, M, A, H}` ialah set yang sama.
Set kosong = `∅` atau `{ }`. Bukan `{∅}` dan bukan `{0}`.
Tiada bulan yang mempunyai 32 hari. Jika `M` mewakili set bulan yang mempunyai 32 hari, maka `M` tidak mengandungi sebarang unsur — ia dipanggil set kosong, ditulis `∅` atau `{ }`.
Ia juga disebut *set nol*, dan simbol `∅` disebut *phi*.
Jangan tulis `{∅}` — itu ialah set yang mengandungi satu unsur (iaitu set kosong itu sendiri), bukan set kosong.
`∈` ialah unsur bagi · `∉` bukan unsur bagi
Simbol `∈` bermaksud "ialah unsur bagi", dan `∉` bermaksud "bukan unsur bagi".
Jika `A = {buah-buahan tempatan di Malaysia}`, maka `durian ∈ A` tetapi `epal ∉ A`.
Untuk menyemak, senaraikan semua unsur set itu dahulu, kemudian barulah lihat sama ada objek itu ada dalam senarai. Simbol `∈` disebut *epsilon*.
Senaraikan → nyahulang → kira. Itu `n(P)`.
Bilangan unsur dalam set `P` ditulis sebagai `n(P)`. Jika `P = {a, b, c, d, e, f}`, maka `n(P) = 6`.
Kaedah yang selamat: senaraikan semua unsur dahulu, buang yang berulang, kemudian kira. Contoh: `P = {huruf dalam 'SUSUNAN'} = {S, U, N, A}`, maka `n(P) = 4` — bukan 7.
Dan `Q = {nombor dua digit yang hasil tambah digitnya 7} = {16, 25, 34, 43, 52, 61, 70}`, maka `n(Q) = 7`.
Set sama = unsur yang sama, bukan sekadar bilangan yang sama.
Dua atau lebih set adalah set sama jika setiap unsurnya adalah sama. Kerana tertib tidak penting, `A = {H, A, R, U, M}`, `B = {M, U, R, A, H}` dan `C = {R, U, M, A, H}` semuanya set sama: `A = B = C`.
Untuk menyemak, senaraikan kedua-dua set dan bandingkan unsur demi unsur.
Perhatikan: `n(A) = n(B)` tidak cukup untuk menjadikan `A = B` — dua set boleh mempunyai bilangan unsur yang sama tetapi unsur yang berbeza sama sekali.
`A′` = semua unsur `ξ` yang bukan dalam `A`.
Set semesta ialah set yang terdiri daripada semua unsur dalam perbincangan, ditulis dengan simbol `ξ`.
Jika `ξ = {8 orang murid dalam pasukan kuiz}` dan `A = {5 orang ahli Persatuan Matematik}`, maka 3 orang yang lain membentuk pelengkap bagi set A, ditulis `A′`.
Jadi `A′` ialah semua unsur dalam `ξ` yang BUKAN dalam `A`. Untuk mencari `A′`: senaraikan `ξ`, senaraikan `A`, kemudian ambil yang tinggal.
`ξ` = segi empat tepat · set = bulatan · `A′` = di luar bulatan, dalam segi empat tepat
Gambar rajah Venn mewakili set dengan bentuk geometri tertutup. Peraturan lukisannya:
• set semesta `ξ` ialah SEGI EMPAT TEPAT di luar sekali
• setiap set ialah bulatan (atau bujur) di dalamnya
• setiap unsur ditulis sebagai satu titik berlabel di kedudukan yang betul
• unsur pelengkap `A′` berada di dalam segi empat tepat tetapi di luar bulatan.
Setiap unsur dalam `ξ` mesti muncul tepat sekali di suatu tempat dalam rajah itu.
`B ⊂ A` jika setiap unsur `B` ada dalam `A`. `∅ ⊂` sebarang set.
Jika setiap unsur dalam set `B` juga merupakan unsur dalam set `A`, maka `B` ialah subset bagi `A`, ditulis `B ⊂ A`.
Contoh: `{gandaan 4} ⊂ {gandaan 2}`, kerana setiap gandaan 4 juga gandaan 2. Simbol `⊄` bermakna *"bukan subset bagi"*.
Dua peraturan yang sering dilupakan: set kosong `∅` ialah subset bagi SEBARANG set, dan setiap set ialah subset bagi dirinya sendiri. Dalam gambar rajah Venn, subset dilukis sebagai bulatan di dalam bulatan.
Set dengan `n` unsur ada `2ⁿ` subset, termasuk `∅` dan set itu sendiri.
Berapa banyak subset yang mungkin bagi suatu set? Bagi `{3, 4}`: `∅`, `{3}`, `{4}`, `{3, 4}` — 4 subset.
Bagi `{a, b, c}`: `∅`, `{a}`, `{b}`, `{c}`, `{a,b}`, `{a,c}`, `{b,c}`, `{a,b,c}` — 8 subset.
Polanya: jika suatu set mempunyai `n` unsur, bilangan subsetnya ialah `2ⁿ`. Sebabnya: bagi setiap unsur, anda membuat dua pilihan — masukkan atau tidak — jadi `2 × 2 × … × 2` sebanyak `n` kali.
8 simbol, 3 cara menulis set, `2ⁿ` subset.
SET — kumpulan objek dengan ciri sepunya; tiga cara menghuraikan; jangan ulang unsur; tertib tidak penting.
SIMBOL — `∈` unsur · `∉` bukan unsur · `n(A)` bilangan unsur · `∅` set kosong · `ξ` set semesta · `A′` pelengkap · `⊂` subset · `⊄` bukan subset.
GAMBAR RAJAH VENN — `ξ` segi empat tepat, set bulatan, subset bulatan dalam bulatan, pelengkap kawasan di luar.
SUBSET — `2ⁿ` subset bagi set dengan `n` unsur.