15 pelajaran dalam Bab 6: Persamaan Linear
Ada = → persamaan (selesaikan). Tiada = → ungkapan (permudahkan).
Simbol `=` menunjukkan hubungan antara dua kuantiti yang mempunyai nilai yang sama. Ayat matematik yang melibatkan kesamaan dikenali sebagai persamaan.
Bandingkan: `7h + 2` dan `x + 2x` ialah ungkapan — tiada `=`, tiada apa yang perlu diselesaikan.
Tetapi `x + 5 = 8` dan `3n + 1 = 6n` ialah persamaan — ada `=`, dan ada nilai `x` yang boleh dicari.
Ungkapan dipermudahkan; persamaan diselesaikan. Dua kata kerja berbeza, dan soalan peperiksaan menggunakannya dengan tepat.
Satu huruf + kuasa 1 = persamaan linear satu pemboleh ubah.
Suatu persamaan ialah linear apabila kuasa setiap pemboleh ubah ialah 1. Ia adalah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah apabila ia mempunyai hanya satu huruf.
Ciri-cirinya: ① satu pemboleh ubah sahaja ② kuasanya ialah 1.
Contoh: `x + 5 = 8` ✓ · `y/2 – 10 = 1` ✓ · `3n + 1 = 6n` ✓ · `2(k – 7) = k/3` ✓.
Bukan: `p – 4q = 6` (dua pemboleh ubah) · `y² + 3y = 1` (kuasa 2) · `1/x + 2 = 6` (`x` di penyebut) · `x(x – 1) = 9` (kembang → `x²`).
Katakan huruf → samakan unit → tulis persamaan tanpa unit.
Kemahiran yang sebenarnya diuji.
*“Satu nombor ditolak dengan 8, bakinya ialah 2”* → katakan nombor itu `x` → `x – 8 = 2`.
*“Peck Chin membeli 5 pen berharga `y` sen sebatang dan sebuah buku RM3; jumlah bayaran RM7”* → samakan unit dahulu: RM3 = 300 sen, RM7 = 700 sen → `5y + 300 = 700`.
Dua peraturan: ① setiap sebutan mesti dalam unit yang sama ② unit tidak ditulis dalam persamaan itu sendiri.
Buat perkara yang SAMA pada kedua-dua belah.
Penyelesaian persamaan linear ialah nilai berangka yang memuaskan persamaan itu — nilai yang menjadikan sebelah kiri sama dengan sebelah kanan. Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai hanya satu penyelesaian.
Bayangkan penimbang dua dulang: `x + 6 = 10`. Jika anda buang 6 kg daripada satu dulang sahaja, penimbang tidak lagi seimbang.
Apa yang dilakukan pada satu belah mesti dilakukan pada belah yang lain — itulah konsep kesamaan, dan itulah satu-satunya peraturan yang diperlukan untuk menyelesaikan sebarang persamaan linear.
Konsep kesamaan ialah kaedah utama. Pematahbalikan = bekerja ke belakang.
① Kaedah cuba jaya — gantikan nilai dan semak. Berguna untuk memahami maksud “penyelesaian”, tetapi lambat dan tidak berfungsi untuk jawapan pecahan atau negatif.
② Aplikasi konsep kesamaan — buat operasi yang sama pada kedua-dua belah sehingga hanya `x` tinggal di satu belah. Ini kaedah utama, digunakan sepanjang tingkatan seterusnya.
③ Kaedah pematahbalikan — senaraikan operasi dari `x` ke jawapan, kemudian balikkan setiap satu, dalam tertib terbalik. Untuk `2x + 1 = 7`: `× 2` kemudian `+ 1`; balik: `– 1` kemudian `÷ 2`.
Pecahan → kurungan → kumpul x sebelah, nombor sebelah → bahagi.
Dua langkah persiapan yang menyelesaikan hampir semua kesukaran.
Ada pecahan? Darab kedua-dua belah dengan penyebut: `(2x + 13)/5 = 7` → `× 5` → `2x + 13 = 35`.
Ada kurungan? Kembangkan dahulu: `5(x – 4) = x + 16` → `5x – 20 = x + 16`.
Pemboleh ubah di kedua-dua belah? Kumpulkan semua sebutan `x` pada satu belah dan semua nombor pada belah yang lain.
Tertibnya: pecahan → kurungan → kumpul → bahagi.
Gantikan jawapan ke dalam persamaan ASAL, bukan baris terakhir.
Langkah yang paling murah dan paling kerap dilangkau.
Gantikan jawapan anda kembali ke dalam persamaan asal dan semak sama ada sebelah kiri sama dengan sebelah kanan.
`x + 10 = 3x` dengan `x = 5`: kiri `= 5 + 10 = 15`; kanan `= 3(5) = 15` ✓.
Ini mengambil masa sepuluh saat dan menangkap hampir setiap kesilapan tanda. Buat semakan ini dalam setiap soalan persamaan.
Bentuk am: ax + by = c, dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0.
Dua pemboleh ubah, kuasa setiap satu ialah 1. Bentuk amnya: `ax + by = c`, dengan `a` dan `b` bukan sifar.
Contoh: `3p – q = 6` ✓ · `y/6 + 4 = –2x` ✓ · `6p + 4q = 9` ✓ (sudah dalam bentuk am).
Bukan: `7x² + 5y = 9` (kuasa 2) · `2(k + 8) = 5k` (satu pemboleh ubah) · `xy + 2y = 3` (sebutan `xy` bukan linear) · `1/x + 1/y = 5`.
Pilih satu → gantikan → selesaikan yang satu lagi. Tulis sebagai (x, y).
Perbezaan besar daripada 6.1: persamaan linear dalam dua pemboleh ubah mempunyai banyak pasangan penyelesaian, bukan satu.
Untuk `2x + y = 6`: pilih `x = 0` → `y = 6`; pilih `x = 1` → `y = 4`; pilih `x = 2` → `y = 2`.
Setiap pasangan ditulis sebagai pasangan tertib `(x, y)`: `(0, 6)`, `(1, 4)`, `(2, 2)`.
Kaedahnya: pilih nilai untuk satu pemboleh ubah, gantikan, selesaikan untuk yang satu lagi. Dalam masalah sebenar, konteks mengehadkan pilihan — bilangan jersi tidak boleh negatif atau pecahan.
Persamaan linear → garis lurus. Setiap titik pada garis = satu penyelesaian.
Plotkan semua pasangan tertib `(x, y)` bagi suatu persamaan linear dalam dua pemboleh ubah dan sambungkan titik-titik itu — anda akan sentiasa mendapat graf garis lurus. Inilah sebabnya ia dipanggil *linear*.
Dan lebih penting lagi: setiap titik pada garis itu ialah penyelesaian bagi persamaan tersebut — bukan hanya titik yang anda plot.
Untuk melukis, cukup dengan dua titik, tetapi plot tiga supaya anda dapat menyemak: jika ketiga-tiganya tidak segaris, ada kesilapan pengiraan.
Serentak = satu pasangan (x, y) yang memuaskan KEDUA-DUA persamaan.
Faizah menternak 7 ekor ayam dan itik; kos ayam RM2 seekor, itik RM1 seekor; jumlah kos RM12. Ini memberi dua persamaan: `x + y = 7` dan `2x + y = 12`.
Kedua-duanya mempunyai pemboleh ubah yang sama, maka ia dipanggil persamaan linear serentak.
Kita mencari nilai `x` dan `y` yang memuaskan kedua-dua persamaan pada masa yang sama — bukan salah satu sahaja.
Satu persamaan sahaja mempunyai banyak penyelesaian; dua persamaan bersama-sama biasanya menyempitkannya kepada satu.
Bersilang → unik · Selari → tiada · Bertindih → tak terhingga
Lukis kedua-dua garis pada graf yang sama, dan kedudukannya memberitahu anda jenis penyelesaian.
Bersilang → satu titik persilangan → penyelesaian unik.
Selari → tidak pernah bertemu → tiada penyelesaian (contoh `2x – 3y = –6` dan `4x – 6y = 18`).
Bertindih → dua garis yang sama → penyelesaian tak terhingga (contoh `x + y = 4` dan `5x + 5y = 20`).
Hampir semua soalan Tingkatan 1 ialah kes pertama.
Asingkan satu huruf, gantikan ke dalam persamaan YANG LAIN.
Gunakan apabila satu pemboleh ubah sudah bersendirian, atau mudah diasingkan (pekalinya 1).
Langkah: ① ungkapkan satu pemboleh ubah dalam sebutan yang satu lagi ② gantikan ungkapan itu ke dalam persamaan yang lain ③ selesaikan persamaan satu pemboleh ubah yang terhasil ④ gantikan kembali.
Bagi `x – 3y = 7` dan `5x + 2y = 1`: daripada ①, `x = 7 + 3y`; gantikan ke ②, `5(7 + 3y) + 2y = 1` → `y = –2`; kemudian `x = 7 + 3(–2) = 1`.
Samakan pekali (GSTK) → tanda sama TOLAK, tanda berlainan TAMBAH.
Kaedah yang paling kerap digunakan.
Langkah: ① darabkan satu atau kedua-dua persamaan supaya pekali bagi satu pemboleh ubah menjadi sama ② tambah persamaan (jika tandanya berlainan) atau tolak (jika tandanya sama) ③ selesaikan ④ gantikan kembali ke dalam persamaan asal.
Contoh mudah: `x + 2y = 9` dan `3x – 2y = 15` — pekali `y` sudah `+2` dan `–2`, maka terus tambah: `4x = 24` → `x = 6`.
Contoh biasa: `2x + 5y = 14` dan `3x + 4y = 7` — GSTK(2, 3) = 6, darab ① dengan 3 dan ② dengan 2, kemudian tolak → `7y = 28` → `y = 4`.
1 huruf → 1 jawapan · 2 huruf → garis lurus · 2 persamaan → 1 titik
SATU PEMBOLEH UBAH `ax + b = c` — satu huruf, kuasa 1, satu penyelesaian; diselesaikan dengan konsep kesamaan.
DUA PEMBOLEH UBAH `ax + by = c` — dua huruf, kuasa 1, banyak pasangan penyelesaian; grafnya garis lurus.
PERSAMAAN SERENTAK — dua persamaan dua pemboleh ubah bersama; diselesaikan dengan graf, penggantian atau penghapusan; jenis penyelesaian ditentukan oleh kedudukan dua garis.
Dalam setiap kes, semak dengan menggantikan kembali.