15 pelajaran dalam Bab 7: Ketaksamaan Linear
Persamaan → = (sama). Ketaksamaan → < > ≤ ≥ (tidak sama).
Setiap hari kita membandingkan dua kuantiti yang tidak sama nilai — harga, suhu, saiz, tinggi, jisim.
Telefon jenama A berharga RM1 400 dan jenama B RM1 600: harga A kurang daripada harga B.
Hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai dikenali sebagai ketaksamaan.
Bandingkan dengan Bab 6: persamaan menggunakan `=` dan bermakna *sama*; ketaksamaan menggunakan `<`, `>`, `≤`, `≥` dan bermakna *tidak sama*.
Kiri = kecil, kanan = besar. Bukaan simbol menghadap nombor besar.
Kembali kepada garis nombor Bab 1.
`–2` terletak di sebelah kiri `3`, maka `–2` kurang daripada `3`, ditulis `–2 < 3`.
`–2` terletak di sebelah kanan `–7`, maka `–2` lebih besar daripada `–7`, ditulis `–2 > –7`.
Cara mengingat yang paling boleh dipercayai: bukaan simbol menghadap nombor yang lebih besar, dan hujung tajamnya menunjuk kepada yang lebih kecil.
Ketaksamaan mempunyai BANYAK penyelesaian, bukan satu.
Apabila salah satu kuantiti tidak diketahui, kita menulis ketaksamaan algebra.
Garis nombor menunjukkan `x` terletak di sebelah kanan `4` → *“x lebih besar daripada 4”* → `x > 4`.
Jika `x` di sebelah kiri `8` → *“x kurang daripada 8”* → `x < 8`.
Berbeza dengan persamaan linear yang mempunyai satu penyelesaian sahaja, ketaksamaan mempunyai banyak nilai yang mungkin — `x > 4` dipuaskan oleh 4.1, 5, 100, dan setiap nombor selepasnya.
< > → bulatan terbuka ○ · ≤ ≥ → bulatan tertutup ●
Papan tanda had laju 110 km/j bermakna laju kenderaan boleh 110, dan boleh kurang daripada 110 — tetapi tidak boleh lebih.
Dua hubungan itu, `v = 110` dan `v < 110`, digabungkan menjadi `v ≤ 110`, dibaca *“v kurang daripada atau sama dengan 110”*. Begitu juga `≥` bermaksud *“lebih besar daripada atau sama dengan”*.
Pada garis nombor, perbezaannya kelihatan: `<` dan `>` menggunakan bulatan terbuka ○ (nilai itu tidak termasuk), manakala `≤` dan `≥` menggunakan bulatan tertutup ● (nilai itu termasuk).
sekurang-kurangnya / minimum → ≥ · selebih-lebihnya / maksimum → ≤
Inilah kemahiran yang paling kerap diuji dalam bab ini, dan yang paling kerap tersilap.
`≥` — *“sekurang-kurangnya”*, *“tidak kurang daripada”*, *“minimum”*, *“dan ke atas”*.
`≤` — *“selebih-lebihnya”*, *“tidak lebih daripada”*, *“maksimum”*, *“tidak melebihi”*.
Perhatikan bahawa “tidak lebih daripada” ialah `≤`, bukan `<` — ia membenarkan nilai itu sendiri. Bandingkan dengan `<` dan `>` yang datang daripada *“kurang daripada”* dan *“lebih daripada”* tanpa “sama dengan”.
a < b ⟺ b > a. Tukar susunan → tukar arah.
Sifat akas: jika `a < b`, maka `b > a`. Membalikkan susunan dua nombor membalikkan arah simbol.
`10 < 24` menjadi `24 > 10`. `–4 > –13` menjadi `–13 < –4`.
Ini kelihatan remeh tetapi ia adalah asas kepada semua manipulasi ketaksamaan — dan ia menerangkan mengapa jawapan boleh ditulis sama ada sebagai `x > –27` atau `–27 < x`; kedua-duanya betul dan bermakna perkara yang sama.
a < b < c ⟹ a < c
Sifat transitif: jika `a < b` dan `b < c`, maka `a < c`. Ditulis ringkas sebagai `a < b < c`.
Contoh: daripada `–5 < –1 < 9`, kita terus tahu `–5 < 9` tanpa membandingkannya secara langsung.
Ini yang membenarkan penulisan julat seperti `–6 ≤ x < –4` — satu baris yang mengatakan dua perkara sekali gus.
Tambah / tolak → arah kekal, sentiasa.
Apabila kedua-dua belah ketaksamaan ditambah atau ditolak dengan sebarang nombor — positif atau negatif — simbol ketaksamaan tidak berubah.
Jika `a < b`, maka `a + c < b + c` dan `a – c < b – c`.
Semak: `2 < 6` → `2 + 3 < 6 + 3` → `5 < 9` ✓ · `2 – 3 < 6 – 3` → `–1 < 3` ✓.
Ini serupa dengan konsep kesamaan dalam Bab 6, dan tiada apa yang perlu diingat secara khusus.
Darab / bahagi dengan positif → arah kekal.
Apabila kedua-dua belah didarab atau dibahagi dengan nombor POSITIF, simbol tidak berubah.
Jika `a < b` dan `c > 0`, maka `a × c < b × c` dan `a/c < b/c`.
Semak: `2 < 6` → `2 × 3 < 6 × 3` → `6 < 18` ✓ · `2/2 < 6/2` → `1 < 3` ✓.
Darab / bahagi dengan negatif → SONGSANGKAN simbol.
Inilah peraturan terpenting dalam seluruh bab ini.
Apabila kedua-dua belah didarab atau dibahagi dengan nombor NEGATIF, simbol ketaksamaan mesti disongsangkan.
Jika `a < b`, maka `a × (–c) > b × (–c)`.
Semak dengan nombor sebenar: `2 < 6` — darab kedua-dua dengan `–3` → `–6` dan `–18`. Adakah `–6 < –18`? Tidak — `–6` lebih besar. Maka `–6 > –18` ✓.
Ambil salingan → songsangkan simbol.
Apabila salingan diambil pada kedua-dua belah, simbol juga disongsangkan.
Jika `a < b`, maka `1/a > 1/b`.
Semak: `2 < 6` → `½` dan `⅙` → `½ > ⅙` ✓.
Logiknya sama seperti peraturan negatif: semakin besar penyebut, semakin kecil pecahannya.
Kenal pasti pemboleh ubah → baca kata kunci → pilih simbol.
Ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah ialah hubungan tak sama antara satu pemboleh ubah berkuasa 1 dengan suatu nombor.
Contoh pembentukan:
*“masa `t` hari kurang daripada 42 hari”* → `t < 42`
*“panjang `l` cm sekurang-kurangnya 32 cm”* → `l ≥ 32`
*“3% daripada keuntungan `p` melebihi RM240”* → `(3/100)p > 240`
Baca kata kunci dengan teliti sebelum memilih simbol.
Sama seperti persamaan — kecuali songsangkan apabila darab/bahagi negatif.
Pengolahannya serupa dengan menyelesaikan persamaan linear dalam Bab 6 — tambah, tolak, darab, bahagi pada kedua-dua belah sehingga pekali pemboleh ubah menjadi 1.
Satu perbezaan sahaja, tetapi ia kritikal: setiap kali anda darab atau bahagi dengan nombor negatif, songsangkan simbol.
Contoh: `7 – 4x > 15` → `–4x > 8` → bahagi dengan `–4` dan songsangkan → `x < –2`.
Berbeza dengan persamaan, jawapannya ialah julat nilai, bukan satu nombor.
Selesaikan berasingan → lukis kedua-dua → ambil bahagian sepunya.
Laporan Kesihatan Sedunia mengatakan pengambilan gula harian ialah antara 25 g dan 37.5 g — itu dua ketaksamaan sekali gus: `m > 25` dan `m < 37.5`.
Ini dipanggil ketaksamaan linear serentak. Penyelesaiannya ialah nilai sepunya — nilai yang memuaskan kedua-dua ketaksamaan.
Kaedahnya: ① selesaikan setiap ketaksamaan berasingan ② lukis kedua-duanya pada garis nombor yang sama ③ ambil bahagian yang bertindih.
Jawapan boleh berbentuk `x < 3` (satu ketaksamaan menelan yang lain) atau julat seperti `–6 ≤ x < –4`.
Hanya negatif dan salingan yang menyongsangkan simbol.
SIMBOL — `<` kurang · `>` lebih besar · `≤` kurang atau sama · `≥` lebih besar atau sama.
SIFAT — akas: `a < b ⟺ b > a` · transitif: `a < b < c ⟹ a < c`.
OPERASI — tambah/tolak: arah kekal · darab/bahagi positif: kekal · darab/bahagi negatif: songsang · salingan: songsang.
PENYELESAIAN — julat nilai, dilukis pada garis nombor dengan bulatan ○ atau ●; ketaksamaan serentak mengambil bahagian sepunya.