20 pelajaran dalam Bab 8: Garis dan Sudut
Kongruen = sama besar dengan tepat.
Tembereng garis ialah satu bahagian daripada garis lurus dengan panjang tertentu. Ia ditanda dengan huruf besar pada dua titik hujungnya: tembereng garis `PQ` dengan `PQ = 6 cm`.
Dua tembereng garis yang sama panjang disebut tembereng garis kongruen. Begitu juga, dua sudut yang mempunyai saiz yang sama disebut sudut kongruen.
*Kongruen* bermakna *sama besar* — bukan *serupa* atau *hampir sama*: `3.2 cm` dan `3.3 cm` tidak kongruen.
Huruf di TENGAH ialah bucu sudut.
Sudut ditanda dengan simbol `∠` dan huruf besar pada dua hujung lengan serta bucu sudut.
Sudut yang sama boleh ditulis dengan beberapa cara: `∠PQR`, `∠RQP`, atau ringkasnya `∠Q`.
Huruf di tengah sentiasa bucu sudut — itulah peraturan tunggal yang perlu diingat. Maka `∠PQR` dan `∠RQP` adalah sudut yang sama (bucu `Q`), tetapi `∠QPR` ialah sudut yang berlainan (bucu `P`).
Anggar sudut dengan membandingkannya dengan 90° dahulu.
Untuk menganggar panjang, bandingkan dengan objek yang diketahui saiznya — jika getah pemadam 4 cm, garis yang panjangnya kira-kira dua setengah pemadam ialah kira-kira 10 cm.
Untuk menganggar sudut, bandingkan dengan sudut tegak 90° dahulu: sudut yang kelihatan sedikit kurang daripada sudut tegak ialah kira-kira 80°.
Untuk mengukur dengan tepat, gunakan pembaris bagi panjang dan protraktor bagi sudut.
Garis lurus = 180° · Satu titik = 360° · Refleks = 180°–360°
Tiga saiz asas yang mesti dihafal.
Sudut pada garis lurus = 180° — maka hasil tambah sudut-sudut pada garis lurus ialah 180°.
Sudut putaran lengkap = 360° — maka hasil tambah sudut-sudut pada satu titik ialah 360°.
Sudut refleks ialah sudut yang lebih daripada 180° dan kurang daripada 360°. Bersama sudut tirus (kurang 90°) dan sudut cakah (antara 90° dan 180°), inilah seluruh perbendaharaan kata saiz sudut.
Pelengkap 90° · Penggenap 180° · Konjugat 360°
Tiga pasangan yang mesti dibezakan, dan yang paling kerap dikelirukan dalam peperiksaan.
Sudut pelengkap — hasil tambahnya 90° (contoh 30° dan 60°).
Sudut penggenap — hasil tambahnya 180° (contoh 125° dan 55°).
Sudut konjugat — hasil tambahnya 360° (contoh 300° dan 60°).
Cara mengingat: peLENGkap → sudut teGAK 90° · pengGENap → garis lurus 180° · konJUGAT → putaran lengkap 360°.
Kenal pasti jenis pasangan → tulis persamaan → selesaikan.
Semua soalan jenis ini diselesaikan dengan satu strategi: kenal pasti jenis pasangan setiap sudut, tulis persamaan yang sepadan, kemudian selesaikan seperti Bab 6.
Contoh: `p` dan 54° pelengkap → `p + 54° = 90°` → `p = 36°`. `p` dan `q` penggenap → `36° + q = 180°` → `q = 144°`. Konjugat bagi `r` ialah 260° → `r = 100°`.
Akhirnya semua sudut pada satu titik → `s + 100° + 144° + 36° + 54° = 360°` → `s = 26°`.
Jangka lukis + pembaris sahaja. Jangan padam garis pembinaan.
Pembinaan geometri ialah melukis dengan ukuran jitu menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja — bukan mengukur dengan protraktor.
Untuk membina `AB = 8 cm`: ① lukis garis dan tandakan titik `A` ② ukur jarak 8 cm pada jangka lukis ③ dari `A`, tandakan titik `B` pada garis itu.
Semua garis pembinaan dikekalkan, tidak dipadamkan — ia adalah bukti kerja anda dan markah diberi untuknya.
Bukaan mesti LEBIH daripada separuh PQ, dan tidak diubah antara langkah.
Garis ialah pembahagi dua sama serenjang bagi `PQ` jika ia berserenjang dengan `PQ` dan membahagi `PQ` kepada dua bahagian sama panjang — kedua-dua syarat sekali gus.
Pembinaannya: ① buka jangka lukis lebih daripada separuh panjang `PQ` ② bina dua lengkok dari `P` ③ tanpa mengubah bukaan, bina dua lengkok dari `Q` ④ sambungkan dua titik persilangan.
Jika bukaan kurang daripada separuh `PQ`, lengkok tidak akan bersilang dan pembinaan gagal.
Kedua-dua pembinaan serenjang ialah pembahagi dua sama serenjang RS.
Dua kes, dan kedua-duanya sebenarnya adalah pembahagi dua sama serenjang yang disamar.
Titik `M` di luar garis: bina dua lengkok dari `M` yang memotong `PQ` di `R` dan `S`; kemudian dari `R` dan `S` bina lengkok yang bersilang; sambungkan `M` ke titik itu.
Titik `N` pada garis: bina dua lengkok dari `N` memotong `PQ` di `R` dan `S`; besarkan bukaan, bina lengkok dari `R` dan `S`; sambungkan.
Dalam kedua-dua kes, langkah terakhir ialah pembahagi dua sama serenjang bagi `RS`.
Pembinaan garis selari = membina segi empat selari.
Garis selari ialah garis yang tidak akan bertemu walaupun dipanjangkan.
Untuk membina garis selari dengan `PQ` melalui `R`: ① dengan bukaan sama dengan jarak `PR`, bina lengkok melalui `R` dari `P` ② kekalkan bukaan, bina lengkok dari `Q` ③ dengan bukaan sama dengan jarak `PQ`, bina lengkok dari `R` yang bersilang ④ sambungkan `R` ke titik persilangan.
Rasionalnya: anda sedang membina segi empat selari `PQSR` — sisi bertentangan segi empat selari adalah selari.
60° daripada segi tiga sama sisi; bahagi dua berulang kali untuk 30°, 15°.
60° boleh dibina tanpa protraktor kerana segi tiga sama sisi mempunyai sudut pedalaman 60°: bina lengkok panjang dari `Q` memotong `QR` di `S`; kekalkan bukaan, bina lengkok dari `S`; sambungkan titik persilangan ke `Q`.
Pembahagi dua sama sudut membahagi sudut kepada dua bahagian sama: bina lengkok dari bucu memotong kedua-dua lengan di `M` dan `N`; dari `M` dan `N` bina lengkok yang bersilang; sambungkan bucu ke titik itu.
Gabungkan kedua-duanya untuk membina 30°, 15°, 90°, 120°, 45°, 75°, 105° dan banyak lagi.
Sudut bertentang bucu SAMA.
Apabila dua garis lurus bersilang, ia membentuk empat sudut.
Sudut yang bertentangan menyilang titik persilangan dipanggil sudut bertentang bucu, dan sudut bertentang bucu adalah SAMA.
Dalam rajah dengan sudut `a`, `b`, `c`, `d` mengikut arah jam: `∠a = ∠c` dan `∠b = ∠d`.
Ini alat pertama dan paling laju dalam setiap soalan garis bersilang — jika sudut yang anda cari bertentangan dengan sudut yang diberi, anda sudah pun ada jawapannya.
Sudut bersebelahan pada garis bersilang berjumlah 180°.
Dua sudut yang berkongsi satu lengan pada garis bersilang dipanggil sudut bersebelahan, dan hasil tambahnya ialah 180° — kerana kedua-duanya bersama-sama membentuk sudut pada garis lurus.
Maka `∠a + ∠d = 180°`, `∠d + ∠c = 180°`, dan seterusnya.
Kes khas: jika dua garis bersilang berserenjang, semua empat sudut ialah 90°.
Tulis SEBAB di sebelah setiap baris: “Sudut bertentang bucu”.
Prosedurnya: ① kenal pasti setiap sudut yang tidak diketahui sebagai bertentang bucu (sama) atau bersebelahan (berjumlah 180°) dengan sudut yang diberi ② tulis persamaan ③ selesaikan.
Contoh: jika `x` bersebelahan dengan 135° → `x + 135° = 180°` → `x = 45°`; jika `y` bertentang bucu dengan 62° → `y = 62°`.
Sentiasa nyatakan sebab di sebelah setiap baris — dalam peperiksaan geometri, sebab itu berbaloi markah.
Sifat sudut 8.3 hanya sah jika garis itu selari.
Garis selari ditandakan dengan anak panah yang sama pada setiap garis. Garis lurus yang bersilang dengan dua atau lebih garis lurus disebut garis rentas lintang.
Ini tetapan asas bagi seluruh 8.3: dua garis selari dipotong oleh satu garis rentas lintang, menghasilkan lapan sudut.
Ketiga-tiga hubungan dalam bahagian seterusnya hanya benar apabila garis itu selari — tanpa anak panah selari, tiada satu pun daripadanya boleh digunakan.
F sepadan (sama) · Z selang-seli (sama) · U pedalaman (180°)
Tiga hubungan, dan seluruh 8.3 terdiri daripada ketiga-tiganya.
Sudut sepadan — kedudukan sama pada setiap garis selari (bentuk F) — adalah SAMA.
Sudut selang-seli — bertentangan menyilang rentas lintang, antara dua garis selari (bentuk Z) — adalah SAMA.
Sudut pedalaman — di sebelah yang sama pada rentas lintang, antara dua garis selari (bentuk U atau C) — hasil tambahnya 180°.
Huruf F, Z dan U ialah cara paling cepat mengenalinya dalam rajah.
Uji dengan mengira: sama (sepadan/selang-seli) atau tepat 180° (pedalaman)?
Sifat-sifat di atas boleh digunakan secara songsang untuk menguji kesejajaran.
Jika sudut sepadan sama → garis itu selari. Jika sudut selang-seli sama → selari. Jika hasil tambah sudut pedalaman tepat 180° → selari.
Contoh: dua sudut sepadan masing-masing 48° → selari ✓. Tetapi sudut pedalaman `42°` dan `128°` → `42° + 128° = 170° ≠ 180°` → tidak selari.
Sedikit sahaja tersasar sudah cukup untuk menjadikannya tidak selari.
Kerja satu sudut pada satu masa; setiap jawapan membuka jawapan seterusnya.
Prosedur yang sama seperti 8.2, dengan tiga alat tambahan.
Contoh: `a` selang-seli dengan 60° → `a = 60°`; `b` sepadan dengan 118° → `b = 118°`; `b` dan `c` sudut pedalaman → `118° + c = 180°` → `c = 62°`.
Apabila rajah rumit, jangan cuba melompat terus kepada jawapan — cari sudut perantaraan satu demi satu, dan tulis sebab bagi setiap satu.
Setiap sudut yang anda dapati menjadi alat untuk sudut seterusnya.
Sudut dongak = sudut tunduk (selang-seli). Diukur dari garis mengufuk.
Apabila seseorang melihat objek pada aras yang lebih tinggi, sudut antara arah penglihatannya dengan garis mengufuk ialah sudut dongak. Apabila melihat objek pada aras yang lebih rendah, sudut itu ialah sudut tunduk.
Perhatikan hubungan penting: kerana dua garis mengufuk itu selari, sudut dongak `A` dari `B` sama dengan sudut tunduk `B` dari `A` — ia sepasang sudut selang-seli.
Kedua-duanya sentiasa sudut tirus dan sentiasa diukur dari garis mengufuk, bukan dari garis mencancang.
Sama: bertentang bucu, sepadan, selang-seli. 180°: bersebelahan, pedalaman.
SAIZ ASAS — garis lurus 180° · satu titik 360° · refleks antara 180° dan 360°.
PASANGAN — pelengkap 90° · penggenap 180° · konjugat 360°.
GARIS BERSILANG — bertentang bucu sama · bersebelahan 180°.
GARIS SELARI + RENTAS LINTANG — sepadan F sama · selang-seli Z sama · pedalaman U 180°.
PEMBINAAN — jangka lukis dan pembaris sahaja; 60° daripada segi tiga sama sisi, kemudian bahagi dua.
DONGAK & TUNDUK — diukur dari garis mengufuk, dan sama antara satu sama lain.